1.

Posons $\textcolor{#caa7ff}{P}$ la propriété étudiée "3 n'est pas la somme de deux carrés d'entiers". On a alors :

$$\textcolor{#caa7ff}{
P : \forall (a,b) \in \mathbb{N}^2, \quad a^2 + b^2 \neq 3
}$$

Soit $\textcolor{#caa7ff}{(a,b) \in \mathbb{N}^2}$ fixés, prouvons que $\textcolor{#caa7ff}{P}$ est vraie en séparant les cas selon la valeur de $\textcolor{#caa7ff}{a}$ :

• Si $\textcolor{#caa7ff}{a = 0}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
a^2 + b^2 = 3
\newline \Rightarrow
0^2 + b^2 = 3
\newline \Rightarrow
b^2 = 3
\newline \Rightarrow
b = \sqrt{3}
}$$

Or $\textcolor{#caa7ff}{b \in \mathbb{N}}$ donc $\textcolor{#caa7ff}{b \neq \sqrt{3}}$. Ainsi, par contraposition : $\textcolor{#caa7ff}{a^2 + b^2 \neq 3}$.

• Si $\textcolor{#caa7ff}{a = 1}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
a^2 + b^2 = 3
\newline \Rightarrow
1^2 + b^2 = 3
\newline \Rightarrow
b^2 = 2
\newline \Rightarrow
b = \sqrt{2}
}$$

Or $\textcolor{#caa7ff}{b \in \mathbb{N}}$ donc $\textcolor{#caa7ff}{b \neq \sqrt{2}}$. Ainsi, par contraposition : $\textcolor{#caa7ff}{a^2 + b^2 \neq 3}$.

• Si $\textcolor{#caa7ff}{a \ge 2}$ alors $\textcolor{#caa7ff}{a^2 \ge 4}$ et $\textcolor{#caa7ff}{a^2 + b^2 \ge 4 + b^2}$ d'où :

$$\textcolor{#caa7ff}{
a^2 + b^2 = 3
\newline \Rightarrow
3 \ge 4 + b^2
\newline \Rightarrow
b^2 \le -1
}$$

Or $\textcolor{#caa7ff}{b^2 \ge 0}$ donc $\textcolor{#caa7ff}{b^2 \gt -1}$. Ainsi par contraposition : $\textcolor{#caa7ff}{a^2 + b^2 \neq 3}$

Pour conclure :
En séparant les cas, on a prouvé que :

$$\textcolor{#caa7ff}{\boxed{
\forall (a,b) \in \mathbb{N}^2, \quad a^2 + b^2 \neq 3
}}$$

Ainsi $\textcolor{#caa7ff}{P}$ est vraie et $\textcolor{#caa7ff}{3}$ n'est pas la somme de deux carrés d'entiers.

2.

Montrons par analyse-synthèse qu'il existe des uniques entiers naturels :

$$\textcolor{#caa7ff}{
n_1 \le n_2 \le n_3 \le n_4
\quad \text{tels que} \quad
3 = \sum^4_{i=1}n_i^2
}$$

Analyse : Supposons qu'il existe des entiers naturels : $\textcolor{#caa7ff}{n_1 \le n_2 \le n_3 \le n_4}$ tels que :

$$\textcolor{#caa7ff}{
3 = \sum^4_{i=1}n_i^2
}$$

On aurait alors :

$$\textcolor{#caa7ff}{
n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 = 3
}$$

Or :

$$\textcolor{#caa7ff}{
n_1 \le n_2 \le n_3 \le n_4
\newline \text{donc} \quad
n_1^2 \le n_2^2 \le n_3^2 \le n_4^2
\newline
\text{car } x \longmapsto x^2 \nearrow \text{ sur } \mathbb{N}
}$$

Ainsi :

$$\textcolor{#caa7ff}{
n_1^2 + n_1^2 + n_1^2 + n_1^2 \le n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 = 3
\newline \text{soit} \quad 4n_1^2 \le 3
\newline \text{donc} \quad n_1^2 \le \dfrac{3}{4}
\newline \text{or} \quad \dfrac{3}{4} \lt 1
\quad \text{donc} \quad n_1^2 \lt 1
\newline \text{de plus} \quad n_1^2 \in \mathbb{N}
\quad \text{donc} \quad n_1^2 = 0
\quad \text{et} \quad n_1 = 0
}$$

Fixons alors $\textcolor{#caa7ff}{n_1 = 0}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 = 3
}$$

Ainsi, analogiquement :

$$\textcolor{#caa7ff}{
3n_2^2 \le 3
\newline \text{donc} \quad n_2^2 \le 1
\newline \text{or} \quad n_2^2 \in \mathbb{N} \quad \text{donc} \quad n_2^2 \in \{0;1\} \quad \text{et} \quad n_2 \in \{0;1\}
}$$

Montrons par l'absurde que $\textcolor{#caa7ff}{n_2 = 1}$ :

Supposons que $\textcolor{#caa7ff}{n_2 \ne 1}$ et donc que $\textcolor{#caa7ff}{n_2 = 0}$ :
On aurait alors $\textcolor{#caa7ff}{n_2^2 = 0}$ et :

$$\textcolor{#caa7ff}{
n_3^2 + n_4^2 = 3
}$$

Or, $\textcolor{#caa7ff}{3}$ n'est pas la somme de deux carrés d'entiers (prouvé en 1.) donc notre supposition est absurde.
Ainsi, $\textcolor{#caa7ff}{n_2 = 1}$.

Fixons alors $\textcolor{#caa7ff}{n_2 = 1}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
1^2 + n_3^2 + n_4^2 = 3
\newline \text{donc} \quad n_3^2 + n_4^2 = 2
}$$

Ainsi, analogiquement :

$$\textcolor{#caa7ff}{
2n_3^2 \le 2
\newline \text{donc} \quad n_3^2 \le 1
}$$

De plus :

$$\textcolor{#caa7ff}{
n_3^2 \ge n_2^2 = 1
\newline \text{donc} \quad 1 \le n_3^2 \le 1
\newline \text{ainsi} \quad n_3^2 = 1 \quad \text{et} \quad n_3 = 1
}$$

Fixons alors $\textcolor{#caa7ff}{n_3 = 1}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
1^2 + 1^2 + n_4^2 = 3
\newline \text{donc} \quad n_4^2 = 1 \quad \text{et} \quad n_4 = 1
}$$

Ainsi, si $\textcolor{#caa7ff}{n_1}$, $\textcolor{#caa7ff}{n_2}$, $\textcolor{#caa7ff}{n_3}$ et $\textcolor{#caa7ff}{n_4}$ existent, ils sont uniques et :

$$\textcolor{#caa7ff}{
n_1 = 0
\newline n_2 = 1
\newline n_3 = 1
\newline n_4 = 1
}$$

Synthese : Posons $\textcolor{#caa7ff}{(n_1;n_2;n_3;n_4) = (0;1;1;1)}$ on a :

$$\textcolor{#caa7ff}{
n_1 \le n_2 \le n_3 \le n_4
\newline \text{et} \quad \sum^4_{i=1} n_i^2 = n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 = 0^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3
}$$

Ainsi :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\exists (n_1;n_2;n_3;n_4) \in \mathbb{N}^4, \quad n_1 \le n_2 \le n_3 \le n_4 \quad \text{et} \quad \sum^4_{i=1} n_i^2 = 3
}$$

Conclusion :

On a donc montré l'existence et l'unicité des entiers naturels $\textcolor{#caa7ff}{n_1 \le n_2 \le n_3 \le n_4}$ tels que :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\sum^4_{i=1} n_i^2 = 3
}$$

Donc, les seuls entiers naturels $\textcolor{#caa7ff}{n_1 \le n_2 \le n_3 \le n_4}$ tels que $\textcolor{#caa7ff}{\sum^4_{i=1} n_i^2 = 3}$ sont :

$$\textcolor{#caa7ff}{\boxed{
n_1 = 0
\newline n_2 = 1
\newline n_3 = 1
\newline n_4 = 1
}}$$