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a)
$$\textcolor{#caa7ff}{
P(3-3i)
= (3-3i)^4 + 324
= (3-3i)^2 \times (3-3i)^2 + 324
= (9 - 18i - 9) \times (9 - 18i - 9) + 324
= 324 - 324
= \boxed{0}
}$$
$\textcolor{#caa7ff}{P(3-3i) = 0}$ donc $\textcolor{#caa7ff}{3-3i}$ est racine de $\textcolor{#caa7ff}{P}$
De plus, tous les coefficients de $\textcolor{#caa7ff}{P}$ sont réels, le conjugué d'une racine de $\textcolor{#caa7ff}{P}$ est alors également une racine de $\textcolor{#caa7ff}{P}$.

$\textcolor{#caa7ff}{P}$ admet donc pour racines $\textcolor{#caa7ff}{3-3i}$ et $\textcolor{#caa7ff}{3+3i}$

b) Les racines d'un polynôme de degré 2 (si elles $\textcolor{#caa7ff}{\notin \mathbb{R}}$) sont données par la formule :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}
}$$
On choisit $\textcolor{#caa7ff}{a = 1}$, on a donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
3 - 3i = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2}
\iff
6 - 6i = -b - i\sqrt{-\Delta}
\Rightarrow
b = -6 \text{ et } \Delta = -(6^2) = -36
\newline
3 + 3i = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2}
\iff
6 + 6i = -b + i\sqrt{-\Delta}
\Rightarrow
b = -6 \text{ et } \Delta = -(6^2) = -36
\newline
}$$
On a donc $\textcolor{#caa7ff}{a = 1}$, $\textcolor{#caa7ff}{b = -6}$ et $\textcolor{#caa7ff}{\Delta = -36}$. On retrouve donc $\textcolor{#caa7ff}{c}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\Delta = b^2 - 4ac
\iff
-36 = 36 - 4c
\iff
-4c = -72
\iff
c = 18
}$$
On trouve alors un polynôme de degré 2 $\textcolor{#caa7ff}{Q}$ admettant pour racines $\textcolor{#caa7ff}{3+3i}$ et $\textcolor{#caa7ff}{3-3i}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
Q(z)
= az^2 + bz + c
= \boxed{z^2 - 6z + 18}
}$$

c) $\textcolor{#caa7ff}{Q}$ et $\textcolor{#caa7ff}{P}$ admettent tout les deux pour racines $\textcolor{#caa7ff}{3+3i}$ et $\textcolor{#caa7ff}{3-3i}$. $\textcolor{#caa7ff}{P}$ étant de degré 4 et $\textcolor{#caa7ff}{Q}$ de degré 2, on peut donc factoriser $\textcolor{#caa7ff}{P}$ par $\textcolor{#caa7ff}{Q}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
P(z)
= z^4 + 324
= (z^2 - 6z + 18)(z^2 + 6z + 18)
}$$

d) $\textcolor{#caa7ff}{P(z) = 0 \iff (z^2 - 6z + 18)(z^2 + 6z + 18) = 0}$. Il s'agit alors d'une équation produit nul :

• Soit $\textcolor{#caa7ff}{z^2 - 6z + 18 = 0}$
• Soit $\textcolor{#caa7ff}{z^2 + 6z + 18 = 0}$

$\textcolor{#caa7ff}{Q(z) = z^2 - 6z + 18}$ et les racines de $\textcolor{#caa7ff}{Q}$ sont $\textcolor{#caa7ff}{3+3i}$ et $\textcolor{#caa7ff}{3-3i}$, donc $\textcolor{#caa7ff}{z^2 - 6z + 18 = 0}$ admet pour solutions $\textcolor{#caa7ff}{3+3i}$ et $\textcolor{#caa7ff}{3-3i}$.

On résout alors :

$$\textcolor{#caa7ff}{
z^2 + 6z + 18 = 0
\newline
\Delta
= 6^2 - 4 \times 18
= -36
\newline
\Rightarrow
z_1
= \frac{-6 + i\sqrt{36}}{2}
= -3 + 3i
\text{ et }
z_2
= \overline{z_1}
= -3 - 3i
}$$

On trouve donc les racines de $\textcolor{#caa7ff}{P}$ (ou solution de $\textcolor{#caa7ff}{P(z) = 0}$) :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
\mathscr{S}
= \bigl\{
\bigl(3+3i\bigr);
\bigl(3-3i\bigr);
\bigl(-3+3i\bigr);
\bigl(-3-3i\bigr)
\bigr\}
}
}$$

Solution alternative :
$$\textcolor{#caa7ff}{
z\text{ est une racine de }P \iff P(z) = 0 \iff z^4 + 324 = 0 \iff z^4 = -324
}$$
Or, $\textcolor{#caa7ff}{(3+3i)^4 = -324}$
$\textcolor{#caa7ff}{(3+3i)}$ est donc une racine de $\textcolor{#caa7ff}{P}$

De plus, $\textcolor{#caa7ff}{\forall a \in \mathbb{C} \quad a^4 = (-a)^4}$ donc $\textcolor{#caa7ff}{(3+3i)^4 = (-3-3i)^4 = -324}$
$\textcolor{#caa7ff}{(-3-3i)}$ est donc une racine de $\textcolor{#caa7ff}{P}$.

De plus, tous les coefficients de $\textcolor{#caa7ff}{P}$ sont réels donc :
Pour tout $\textcolor{#caa7ff}{z}$ racine de $\textcolor{#caa7ff}{P}$, $\textcolor{#caa7ff}{\overline{z}}$ est également racine de $\textcolor{#caa7ff}{P}$.

On en déduit donc toutes les racines de $\textcolor{#caa7ff}{P}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
z_1 = 3+3i
\newline
z_2 = (\overline{3+3i}) = 3-3i
\newline
z_3 = -3-3i
\newline
z_4 = (\overline{-3-3i}) = -3+3i
}$$
Et donc l'ensemble des solutions de $\textcolor{#caa7ff}{P(z) = 0}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
\mathscr{S}
= \bigl\{
\bigl(3+3i\bigr);
\bigl(3-3i\bigr);
\bigl(-3+3i\bigr);
\bigl(-3-3i\bigr)
\bigr\}
}
}$$