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Bézout & Gauss
$\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$ désignent des nombres entiers naturels non nuls. On donne :
$$\textcolor{#caa7ff}{
m = 3a + 4b \text{ et } n = 2a + 3b
}$$
a) Jusitifer qu'un diviseur commun à $\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$ est aussi un diviseur commun à $\textcolor{#caa7ff}{m}$ et $\textcolor{#caa7ff}{n}$.
b) Calculer $\textcolor{#caa7ff}{3m - 4n}$ et $\textcolor{#caa7ff}{3n - 2m}$.
En déduire qu'un diviseur commun à $\textcolor{#caa7ff}{m}$ et $\textcolor{#caa7ff}{n}$ est aussi un diviseur commun à $\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$.
c) Que peut-on dire de $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(a;b)}$ et $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(m;n)}$ ?
a)
Tout diviseur commun à $\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$ est également un diviseur de toute combinaison linéaire de $\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$.
Or, $\textcolor{#caa7ff}{m}$ et $\textcolor{#caa7ff}{n}$ sont des combinaison linéaires de $\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$.
Donc tout diviseur commun à $\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$ est un diviseur commun à $\textcolor{#caa7ff}{m}$ et $\textcolor{#caa7ff}{n}$.
b)
$$\textcolor{#caa7ff}{
3m - 4n
= 3(3a + 4b) - 4(2a + 3b)
= 9a + 12b - 8a - 12b
= \boxed{a}
\newline
3n - 2m
= 3(2a + 3b) - 2(3a + 4b)
= 6a + 9b - 6a - 8b
= \boxed{b}
}$$
$\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$ sont alors des combinaison linéaires de $\textcolor{#caa7ff}{m}$ et $\textcolor{#caa7ff}{n}$.
Donc tout diviseur commun à $\textcolor{#caa7ff}{m}$ et $\textcolor{#caa7ff}{n}$ est un diviseur commun à $\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$.
c)
$$\textcolor{#caa7ff}{
D(a;b) \subset D(m;n) \quad \text{D'après a)}
\newline
D(m;n) \subset D(a;b) \quad \text{D'après b)}
\newline \iff
D(a;b) = D(m;n)
\Rightarrow
\boxed{PGCD(a;b) = PGCD(m;n)}
}$$