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Bézout & Gauss
$\textcolor{#caa7ff}{n}$ désigne un nombre entier naturel supérieur ou égal à $\textcolor{#caa7ff}{2}$.
a) Déterminer le $\textcolor{#caa7ff}{PGCD}$ des entiers naturels $\textcolor{#caa7ff}{n(n+1)}$ et $\textcolor{#caa7ff}{(n-1)(n+2)}$
b) Que peut-on conclure sur les nombres :
$$\textcolor{#caa7ff}{
a = \frac{n(n+1)}{2}
\text{ et }
b = \frac{(n-1)(n+2)}{2}
\text{ ?}
}$$
a)
$$\textcolor{#caa7ff}{
n(n+1)
= n^2 + n
\text{ et }
(n-1)(n+2)
= n^2 + 2n - n - 2
= n^2 + n - 2
}$$
Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\bigl(n(n+1)\bigr) - \bigl((n-1)(n+2)\bigr)
= (n^2 + n) - (n^2 + n - 2)
= 2
}$$
$\textcolor{#caa7ff}{2}$ est alors une combinaison de $\textcolor{#caa7ff}{n(n+1)}$ et $\textcolor{#caa7ff}{(n-1)(n+2)}$, donc:
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{D\bigl(n(n+1)~;~(n-1)(n+2)\bigr) \subset D(2)}
}$$
Pour $\textcolor{#caa7ff}{n}$ pair :
$$\textcolor{#caa7ff}{
n \equiv 0 \pmod{2}
\iff
n(n+1) \equiv 0 \pmod{2}
\newline
\text{et}
\newline
n \equiv 0 \pmod{2}
\iff
n^2 + n \equiv 0 \pmod{2}
\iff
n^2 + n - 2 \equiv -2 \pmod{2}
\iff
(n-1)(n+2) \equiv 0 \pmod{2}
}$$
Pour $\textcolor{#caa7ff}{n}$ impair :
$$\textcolor{#caa7ff}{
n \equiv 1 \pmod{2}
\iff
n^2 + n \equiv 2 \pmod{2}
\iff
n(n+1) \equiv 0 \pmod{2}
\newline
\text{et}
\newline
n \equiv 1 \pmod{2}
\iff
n^2 + n \equiv 2 \pmod{2}
\iff
n^2 + n - 2 \equiv 0 \pmod{2}
\iff
(n-1)(n+2) \equiv 0 \pmod{2}
}$$
Alors :
$$\textcolor{#caa7ff}{
2 \in D\bigl(n(n+1)~;~(n-1)(n+2)\bigr)
}$$
Donc, comme $\textcolor{#caa7ff}{2}$ est le plus grand élément de $\textcolor{#caa7ff}{D(2)}$, $\textcolor{#caa7ff}{2}$ est le plus grand élément de $\textcolor{#caa7ff}{D\bigl(n(n+1)~;~(n-1)(n+2)\bigr)}$, soit :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{PGCD\bigl(n(n+1)~;~(n-1)(n+2)\bigr) = 2}
}$$
b)
$$\textcolor{#caa7ff}{
PGCD\bigl(n(n+1)~;~(n-1)(n+2)\bigr) = 2
\newline \iff
PGCD(2a;2b) = 2
\newline \iff
2 PGCD(a;b) = 2
\newline \iff
PGCD(a;b) = 1
}$$
Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{a \text{ et } b \text{ premiers entre eux}}
}$$