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Bézout & Gauss
On considère l'équation $\textcolor{#caa7ff}{89x + 37y = 1}$ où $\textcolor{#caa7ff}{x}$ et $\textcolor{#caa7ff}{y}$ sont des nombres entiers relatifs.
a) Utiliser l'algorithme d'Euclide pour déterminer un couple $\textcolor{#caa7ff}{(x;y)}$ d'entiers relatifs solution de l'équation.
b) Ce couple est-il unique ?
a)
$$\textcolor{#caa7ff}{
89 = 2 \times 37 + 15
\newline
37 = 2 \times 15 + 7
\newline
15 = 2 \times 7 + 1
\newline
7 = 7 \times 7 + 0
}$$
Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
1
= 15 - 7 \times 2
\newline
= 15 - (37 - 15 \times 2) \times 2
\newline
= 5 \times 15 - 2 \times 37
\newline
= 5 \times (89 - 2 \times 37) - 2 \times 37
\newline
= \boxed{
5 \times 89 - 12 \times 37
}
}$$
On trouve donc un couple $\textcolor{#caa7ff}{(x;y)}$ solution de l'équation :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
(x;y)
= (5;-12)
}
}$$
b) Ce couple n'est pas unique.