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a) $\textcolor{#caa7ff}{4}$ est inversible modulo $\textcolor{#caa7ff}{17}$ si et seulement si $\textcolor{#caa7ff}{4}$ et $\textcolor{#caa7ff}{17}$ sont premiers entre eux.

$\textcolor{#caa7ff}{17}$ étant un nombre premier, $\textcolor{#caa7ff}{4}$ lui est premier. Donc $\textcolor{#caa7ff}{4}$ est inversible modulo $\textcolor{#caa7ff}{17}$.

b)
On cherche d'abord l'inverse de $\textcolor{#caa7ff}{4}$ modulo $\textcolor{#caa7ff}{17}$, soit $\textcolor{#caa7ff}{4^{-1}}$ tel que :

$$\textcolor{#caa7ff}{
4^{-1} \times 4 \equiv 1 \pmod{17}
\newline \iff
\exists k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } 4^{-1} \times 4 = k \times 17 + 1
}$$

On cherche donc un couple $\textcolor{#caa7ff}{(4^{-1};k)}$ tel que :

$$\textcolor{#caa7ff}{
4^{-1} \times 4 - k \times 17 = 1
}$$

Il s'agit alors de coefficients de Bézout. On les cherche donc avec l'algorithme d'Euclide :

$$\textcolor{#caa7ff}{
17 = 4 \times 4 + 1
\newline
4 = 1 \times 4 + 0
}$$

Donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
1
= 17 - 4 \times 4
= (-4) \times 4 - (-1) \times 17
}$$

On trouve alors :

$$\textcolor{#caa7ff}{
(4^{-1};k)
= (-4;-1)
}$$

On en déduit donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
-4 \times 4 \equiv 1 \pmod{17}
\newline \iff
11 \times -4 \times 4 \equiv 11 \times 1 \pmod{17}
\newline \iff
-44 \times 4 \equiv 11 \pmod{17}
\newline \iff
7 \times 4 \equiv 11 \pmod{17}
}$$

On trouve alors $\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{S}}$ l'ensemble des solutions :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
\mathscr{S}
= \bigl\{
17k + 7 \quad \forall k \in \mathbb{Z}
\bigr\}
}
}$$