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Bézout & Gauss
$\textcolor{#caa7ff}{n}$ désigne un nombre entier naturel non nul.
Dans chaque cas, dire si la fraction est irréductible.
a) $\textcolor{#caa7ff}{\dfrac{n}{n^2 + 1}}$
b) $\textcolor{#caa7ff}{\dfrac{5n + 2}{7n + 3}}$
c) $\textcolor{#caa7ff}{\dfrac{2n + 1}{8n + 5}}$
On rappelle que :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\forall (a;b) \in \mathbb{Z}^2 \quad
\frac{a}{b} \text{ est irréductible}
\newline \iff
a \text{ est premier à } b
\newline \iff
PGCD(a;b) = 1
}$$
a) D'après l'algorithme d'Euclide :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\forall (x;y) \in \mathbb{Z}, x \neq 0
\newline
PGCD(x;y) = PGCD(x;r) \quad \text{avec } r \equiv y \pmod{x}
}$$
Or :
$$\textcolor{#caa7ff}{
n^2 + 1 \equiv 1 \pmod{n}
}$$
Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
PGCD(n;n^2 + 1) = PGCD(n;1) = \boxed{1}
}$$
La fraction est donc irréductible.
b)
$$\textcolor{#caa7ff}{
5(7n + 3) - 7(5n + 2)
= 35n + 15 - 35n - 14
= 1
}$$
Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\exists (u;v) \in \mathbb{Z}^2 \text{ tel que } u(7n + 3) + v(5n + 2) = 1
\newline \iff
\boxed{
7n + 3 \text{ est premier à } 5n + 2
}
}$$
La fraction est donc irréductible.
c)
D'après l'algorithme d'Euclide :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\forall (x;y) \in \mathbb{Z}, x \neq 0
\newline
PGCD(x;y) = PGCD(x;r) \quad \text{avec } r \equiv y \pmod{x}
}$$
Or :
$$\textcolor{#caa7ff}{
8n + 5 \equiv 4(2n + 1) + 1 \equiv 1 \pmod{2n + 1}
}$$
Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
PGCD(2n + 1;8n + 5) = PGCD(2n + 1;1) = \boxed{1}
}$$
La fraction est donc irréductible.