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Bézout & Gauss
$\textcolor{#caa7ff}{n}$ désigne un nombre entier naturel compris entre $\textcolor{#caa7ff}{1}$ et $\textcolor{#caa7ff}{100}$ dont le reste dans la division euclidienne par $\textcolor{#caa7ff}{9}$ est $\textcolor{#caa7ff}{7}$ et dont le reste dans la division euclidienne par $\textcolor{#caa7ff}{7}$ est $\textcolor{#caa7ff}{1}$.
a) Résoudre dans $\textcolor{#caa7ff}{\mathbb{N}^2}$ l'équation $\textcolor{#caa7ff}{7u - 9v = 6}$.
b) En déduire la valeur de $\textcolor{#caa7ff}{n}$.
a) On cherche une solution particulière de l'équation :
$\textcolor{#caa7ff}{7 - 9 = -2}$ alors $\textcolor{#caa7ff}{7u - 9v = -2}$ pour $\textcolor{#caa7ff}{(u;v) = (1;1)}$.
Ainsi $\textcolor{#caa7ff}{-3(7 - 9) = 6}$ et donc $\textcolor{#caa7ff}{7u - 9v = 6}$ pour $\textcolor{#caa7ff}{(u;v) = -3(1;1) = (-3;-3)}$.
On a alors une solution $\textcolor{#caa7ff}{\boxed{(u_0;v_0) = (-3;-3)}}$
On cherche ensuite la solution générale de l'équation :
$$\textcolor{#caa7ff}{
7u - 9v = 6 \text{ et } 7u_0 - 9v_0 = 6
\newline \Rightarrow
7u - 9v = 7u_0 - 9v_0
\newline \iff
7u - 7u_0 = 9v - 9v_0
\newline \iff
7(u - u_0) = 9(v - v_0)
\newline
\text{Or } PGCD(7;9) = 1
\newline
\text{Donc } 9 \mid (u - u_0) \text{ et } 7 \mid (v - v_0)
\newline \iff
\begin{cases}
u - u_0 &= 9k \newline
v - v_0 &= 7k
\end{cases} \quad \forall k \in \mathbb{Z}
\newline \iff
\begin{cases}
u = 9k + u_0 \newline
v = 7k + v_0
\end{cases} \quad \forall k \in \mathbb{Z}
}$$
On trouve alors $\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{S}}$ l'ensemble solution de l'équation :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
\mathscr{S} =
\bigl\{
(9k - 3 ; 7k - 3)
\quad \forall k \in \mathbb{Z}
\bigr\}
}
}$$
b)
$$\textcolor{#caa7ff}{
\begin{cases}
n \equiv 7 \pmod{9} \newline
n \equiv 1 \pmod{7}
\end{cases} \quad \text{avec } n \in \mathbb{Z}
\newline \iff
\begin{cases}
n = 9v + 7 \newline
n = 7u + 1
\end{cases} \quad \text{avec } (u;v) \in \mathbb{Z}^2
}$$
Alors
$$\textcolor{#caa7ff}{
n = 7u + 1 \quad \forall (u;v) \in \mathbb{Z}^2, 7u + 1 = 9v + 7
\newline \iff
n = 7u + 1 \quad \forall (u;v) \in \mathbb{Z}^2, 7u - 9v = 6
\newline \iff
n = 7u + 1 \quad \forall (u;v) \in \bigl\{
(9k - 3 ; 7k - 3)
\quad \forall k \in \mathbb{Z}
\bigr\}
\newline \Rightarrow
n = 7(9k - 3) + 1 \quad \forall k \in \mathbb{Z}
}$$
Or $\textcolor{#caa7ff}{n \in [\![1;100]\!]}$ ainsi :
$$\textcolor{#caa7ff}{
1 \le n \le 100
\newline
1 \le 7(9k - 3) + 1 \le 100
\newline
0 \le 63k - 21 \le 99
\newline
21 \le 63k \le 120
\newline
\dfrac{21}{63} \le k \le \dfrac{120}{63}
\newline
0,3 \le k \le 1,91
}$$
Or $\textcolor{#caa7ff}{k \in \mathbb{Z}}$ donc $\textcolor{#caa7ff}{k = 1}$. On en déduit $\textcolor{#caa7ff}{n}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
n =
7(9k - 3) + 1 =
7(9 - 3) + 1 =
7 \times 6 + 1 =
\boxed{43}
}$$