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1. $\textcolor{#caa7ff}{(a_n)}$ est une suite arithmétique de premier terme $\textcolor{#caa7ff}{a_1 = 3}$ et de raison $\textcolor{#caa7ff}{r = 2}$. On a donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
a_n =
a_1 + r (n-1) =
3 + 2(n-1) =
\boxed{2n + 1}
}$$

2. a) On procède par réccurence :

• Initialisation :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\text{D'une part : } b_2 = b_1 + a_1 = 2 + 3 = 5
\newline
\text{D'autre part : } 2 + \sum_{i=1}^{2-1}a_i = 2 + \sum_{i=1}^{1}a_i = 2 + a_1 = 2 + 3 = 5
}$$

Donc $\textcolor{#caa7ff}{b_n = 2 + \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}a_i}$ pour $\textcolor{#caa7ff}{n = 2}$

• Hérédité :

On admet que $\textcolor{#caa7ff}{b_n = 2 + \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}a_i}$ pour un entier $\textcolor{#caa7ff}{n \ge 2}$
Montrer que $\textcolor{#caa7ff}{b_{n+1} = 2 + \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i}$

$$\textcolor{#caa7ff}{
b_{n+1} =
b_n + a_n =
2 + \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}a_i + a_n =
b_{n+1} = 2 + \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i
}$$

• Conclusion :

La propriété est initialisée et héréditaire donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
\forall n \in \mathbb{N}, n \ge 2
\quad b_n = 2 + \sum_{i=1}^{n-1}a_i
}
}$$

b) $\textcolor{#caa7ff}{(a_n)}$ est une suite arithmétique donc la somme de ses termes du rang $\textcolor{#caa7ff}{1}$ au rang $\textcolor{#caa7ff}{n-1}$ est connue :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\sum_{i=1}^{n-1}a_i \newline =
\dfrac{(n-1)(a_1 + a_{n-1})}{2} \newline =
\dfrac{3n - 3 + (n-1)(a_{n-1})}{2} \newline =
\dfrac{3n - 3 + (n-1)(2(n-1)+1)}{2} \newline =
\dfrac{3n - 3 + (n-1)(2n-1))}{2} \newline =
\dfrac{3n - 3 + (2n^2 - 2n - n + 1)}{2} \newline =
\dfrac{2n^2 - 2}{2} \newline =
n^2 - 1
}$$

On en déduis donc $\textcolor{#caa7ff}{(b_n)}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
b_n \newline =
2 + \sum_{i=1}^{n-1}a_i \newline =
2 + n^2 - 1 \newline =
\boxed{n^2 + 1}
}$$

3. a)

$$\textcolor{#caa7ff}{
a_n^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1
\newline \iff
a_n^2 - 4b_n = 4n^2 + 4n + 1 - 4n^2 - 4 = 4n - 3
\newline \iff
a_n^2 - 4b_n - 2a_n = 4n - 3 - 4n - 2 = -5
\newline \iff
-a_n^2 + 4b_n + 2a_n = 5
}$$

$\textcolor{#caa7ff}{5}$ est ainsi une combinaison linéaire de $\textcolor{#caa7ff}{a_n}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b_n}$ (car $\textcolor{#caa7ff}{a_n^2}$ est divisible par $\textcolor{#caa7ff}{a_n}$). On a alors :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
\forall q \in \mathbb{Z}, \bigl(q \mid a_n \wedge q \mid b_n \bigr)
\Rightarrow q \mid (-a_n^2 + 4b_n + 2a_n)
\Rightarrow q \mid 5
}
}$$

b) On pose $\textcolor{#caa7ff}{k}$ un entier relatif.

$$\textcolor{#caa7ff}{
\forall q \in \mathbb{Z}, \bigl(q \mid a_n \wedge q \mid b_n \bigr)
\Rightarrow q \mid 5 \Rightarrow q \in \bigl\{1;5\bigr\}
\newline \iff PGCD(a_n;b_n) \in \bigl\{1;5\bigr\}
}$$

Donc :

• Pour $\textcolor{#caa7ff}{n \equiv 0 \pmod{5}}$ soit $\textcolor{#caa7ff}{n = 5k}$
  $$\textcolor{#caa7ff}{
  a_n \equiv 10k + 1 \equiv 1 \pmod{5}
  \newline \boxed{\Rightarrow PGCD(a_n;b_n) \neq 5}
  }$$

• Pour $\textcolor{#caa7ff}{n \equiv 1 \pmod{5}}$ soit $\textcolor{#caa7ff}{n = 5k + 1}$
  $$\textcolor{#caa7ff}{
  a_n \equiv 10k + 3 \equiv 3 \pmod{5}
  \newline \boxed{\Rightarrow PGCD(a_n;b_n) \neq 5}
  }$$

• Pour $\textcolor{#caa7ff}{n \equiv 2 \pmod{5}}$ soit $\textcolor{#caa7ff}{n = 5k + 2}$
  $$\textcolor{#caa7ff}{
  a_n \equiv 10k + 5 \equiv 0 \pmod{5}
  \newline
  b_n \equiv 25k^2 + 10k + 5 \equiv 0 \pmod{5}
  \newline \boxed{\Rightarrow PGCD(a_n;b_n) = 5}
  }$$

• Pour $\textcolor{#caa7ff}{n \equiv 3 \pmod{5}}$ soit $\textcolor{#caa7ff}{n = 5k + 3}$
  $$\textcolor{#caa7ff}{
  a_n \equiv 10k + 7 \equiv 2 \pmod{5}
  \newline \boxed{\Rightarrow PGCD(a_n;b_n) \neq 5}
  }$$

• Pour $\textcolor{#caa7ff}{n \equiv 4 \pmod{5}}$ soit $\textcolor{#caa7ff}{n = 5k + 4}$
  $$\textcolor{#caa7ff}{
  a_n \equiv 10k + 9 \equiv 4 \pmod{5}
  \newline \boxed{\Rightarrow PGCD(a_n;b_n) \neq 5}
  }$$

c) Les seuls valeurs possibles pour $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(a_n;b_n)}$ sont $\textcolor{#caa7ff}{5}$ et $\textcolor{#caa7ff}{1}$. Si $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(a_n;b_n) \neq 5}$ alors $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(a_n;b_n) = 1}$ et donc $\textcolor{#caa7ff}{a_n}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b_n}$ sont premiers entre eux.