N°137 Page 187
Bézout & Gauss
On se propose de déterminer l'ensemble $\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{S}}$ des nombres entiers relatifs solutions du système :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\begin{cases}
n \equiv 9 \pmod{17} \newline
n \equiv 3 \pmod{5}
\end{cases}
}$$
1. On désigne par $\textcolor{#caa7ff}{(u;v)}$ un couple d'entiers relatifs tel que $\textcolor{#caa7ff}{17u + 5v = 1}$.
a) Justifier l'existance d'un tel couple.
b) On pose $\textcolor{#caa7ff}{n_0 = 3 \times 17u + 9 \times 5v}$. Démontrer que $\textcolor{#caa7ff}{n_0 \in \mathscr{S}}$.
c) Donner un exemple d'entier $\textcolor{#caa7ff}{n_0}$ appartenant à $\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{S}}$.
2. a) $\textcolor{#caa7ff}{n}$ désigne un nombre entier relatif appartenant à $\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{S}}$. Démontrer que $\textcolor{#caa7ff}{n - n_0 \equiv 0 \pmod{85}}$.
b) En déduire qu'un nombre entier reltif $\textcolor{#caa7ff}{n}$ appartient à $\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{S}}$ si, et seulement si, il existe un entier relatif $\textcolor{#caa7ff}{k}$ tel que $\textcolor{#caa7ff}{n = 43 + 85k}$.
3. Zoé sait qu'elle a entre $\textcolor{#caa7ff}{300}$ et $\textcolor{#caa7ff}{400}$ jetons.
Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.
Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.
Combien a-t-elle de jetons ?
1. a) $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(17;5) = 1}$ donc, d'après le théorème de Bezout $\textcolor{#caa7ff}{17u + 5v = 1}$ admet une infinité de solutions.
b) $\textcolor{#caa7ff}{17u + 5v = 1}$ ainsi :
$$\textcolor{#caa7ff}{
17u + 5v \equiv 1 \pmod{17}
\iff
5v \equiv 1 \pmod{17}
\newline \text{et} \newline
17u + 5v \equiv 1 \pmod{5}
\iff
17u \equiv 1 \pmod{5}
}$$
Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
n_0 \equiv
3 \times 17u + 9 \times 5v \equiv
9 \times 5v \equiv
\boxed{9} \pmod{17}
\newline \text{et} \newline
n_0 \equiv
3 \times 17u + 9 \times 5v \equiv
3 \times 17u \equiv
\boxed{3} \pmod{5}
}$$
D'ou :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
n_0 \in \mathscr{S}
}
}$$
c) On cherche un couple $\textcolor{#caa7ff}{(u_0;v_0)}$ tel que $\textcolor{#caa7ff}{17u_0 + 5v_0 = 1}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
5 \times 7 - 17 \times 2 =
35 - 34 = 1
}$$
Donc $\textcolor{#caa7ff}{(-2;7)}$ est un couple valable.
On a alors $\textcolor{#caa7ff}{n_0}$:
$$\textcolor{#caa7ff}{
n_0 \newline =
3 \times 17u_0 + 9 \times 5v_0 \newline =
3 \times 17 \times (-2) + 9 \times 5 \times 7 \newline =
-102 + 315 \newline =
\boxed{213}
}$$
2. a)
$$\textcolor{#caa7ff}{
n \in \mathscr{S}
\newline \iff
\begin{cases}
n \equiv 9 \pmod{17} \newline
n \equiv 3 \pmod{5}
\end{cases}
}$$
Or $\textcolor{#caa7ff}{n_0 \in \mathscr{S}}$ ainsi :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\begin{cases}
n_0 \equiv 9 \pmod{17} \newline
n_0 \equiv 3 \pmod{5}
\end{cases}
}$$
Alors :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\begin{cases}
n - n_0 \equiv 9 - 9 \equiv 0 \pmod{17} \newline
n - n_0 \equiv 3 - 3 \equiv 0 \pmod{5}
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
17 \mid n - n_0 \newline
5 \mid n - n_0
\end{cases}
}$$
Or $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(17;5) = 1}$. D'après le théorème de Gauss :
$$\textcolor{#caa7ff}{
17 \times 5 \mid n - n_0
\newline \iff
\boxed{
n - n_0 \equiv 0 \pmod{85}
}
}$$
b)
$$\textcolor{#caa7ff}{
n - n_0 \equiv 0 \pmod{85}
\newline \iff
n - n_0 = 85q \quad \text{avec } q \in \mathbb{Z}
\newline \iff
n = 85q + 213 \quad \text{avec } q \in \mathbb{Z}
\newline \iff
n = 85q + 2 \times 85 + 43 \quad \text{avec } q \in \mathbb{Z}
\newline \iff
n = 85(q+2) + 43 \quad \text{avec } q \in \mathbb{Z}
\newline \iff
n = 85k + 43 \quad \text{avec } k = q+2 \text{ et donc } k \in \mathbb{Z}
}$$
3. On pose $\textcolor{#caa7ff}{x}$ le nombre de jetons de Zoé. $\textcolor{#caa7ff}{x}$ vérifie le système suivant :
$$\textcolor{#caa7ff}{
x \equiv 9 \pmod{17} \newline
x \equiv 3 \pmod{5}
}$$
Ainsi $\textcolor{#caa7ff}{x \in \mathscr{S}}$.
On a alors $\textcolor{#caa7ff}{x = 85k + 43}$ avec $\textcolor{#caa7ff}{k \in \mathbb{Z}}$.
Or $\textcolor{#caa7ff}{300 \le x \le 400}$, donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
300 \le x \le 400 \newline
300 \le 85k + 43 \le 400 \newline
257 \le 85k \le 357 \newline
\dfrac{257}{85} \le k \le \dfrac{357}{85} \newline
3,02 \le k \le 4,2 \newline
\text{Or } k \in \mathbb{Z} \text{ donc } k = 4
}$$
On calcule donc la valeur de $\textcolor{#caa7ff}{x}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
x =
85k + 43 =
85 \times 4 + 43 =
\boxed{383}
}$$