N°57 Page 272
Graphes
Voici la matrice de transision $\textcolor{#caa7ff}{P}$ associée à une chaine de Markov :
$$\textcolor{#caa7ff}{
P =
\begin{pmatrix}
0,4 & 0,6 & 0 \newline
0,2 & 0,7 & 0,1 \newline
0 & 0,15 & 0,85
\end{pmatrix}
}$$
Parmis les trois distributions proposées, laquelle est une distribution invariante de la chaîne ?
$$\textcolor{#caa7ff}{
\pi_1 =
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}
\end{pmatrix}
\quad
\pi_2 =
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3}
\end{pmatrix}
\quad
\pi_3 =
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{4}{5} & 0
\end{pmatrix}
}$$
Une distribution invariante d'une chaîne est telle qu'elle ne change pas d'une étape à une autre. C'est-à-dire $\textcolor{#caa7ff}{\pi}$ est une distribution invariante de la chaîne de Markov de matrice de transition $\textcolor{#caa7ff}{P}$ si et seulement si $\textcolor{#caa7ff}{\pi \cdot P = \pi}$
On teste alors chacune des propositions :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\pi_1 \cdot P
\begin{pmatrix}
0,2 & 0,48 & 0,32
\end{pmatrix}
\neq \pi_1
}$$
$$\textcolor{#caa7ff}{
\pi_2 \cdot P
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3}
\end{pmatrix}
= \pi_2
}$$
$$\textcolor{#caa7ff}{
\pi_3 \cdot P
\begin{pmatrix}
0,24 & 0,68 & 0,08
\end{pmatrix}
\neq \pi_3
}$$
Ainsi, $\textcolor{#caa7ff}{\boxed{\pi_2}}$ est une distribution invariante de la chaîne.