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Complexes - Trigonométrie
On donne $\textcolor{#caa7ff}{j = -\dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$.
a) Déterminer une forme exponentielle de $\textcolor{#caa7ff}{j}$.
b) En déduire une forme exponentielle, puis la forme algébrique de $\textcolor{#caa7ff}{j^2}$.
c) Démontrer que $\textcolor{#caa7ff}{1 + j + j^2 = 0}$.
d) Déterminer une forme exponentielle de chacun des nombres complexes.
- $\textcolor{#caa7ff}{\bar{j}}$
- $\textcolor{#caa7ff}{j^3}$
- $\textcolor{#caa7ff}{j^{15}}$
a)
$$\textcolor{#caa7ff}{
j \newline =
-\dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2} \newline =
\cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3} \newline =
\boxed{
e^{i \frac{2 \pi}{3}}
}
}$$
b)
$$\textcolor{#caa7ff}{
j^2 \newline =
\bigl(e^{i \frac{2 \pi}{3}}\bigr)^2 \newline =
\boxed{
e^{i \frac{4 \pi}{3}}
} \newline =
\cos \frac{4 \pi}{3} + i \sin \frac{4 \pi}{3} \newline =
\boxed{
-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}
}
}$$
c)
$$\textcolor{#caa7ff}{
1 + j + j^2 \newline =
1 - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \newline =
\boxed{
0
}
}$$
d)
$$\textcolor{#caa7ff}{
\bar{j} \newline =
\boxed{
e^{i \frac{-2 \pi}{3}}
}
}$$
$$\textcolor{#caa7ff}{
j^3 \newline =
e^{i 2 \pi} \newline =
\boxed{
e^i
}
}$$
$$\textcolor{#caa7ff}{
j^{15} \newline =
e^{i 10 \pi} \newline =
\boxed{
e^i
}
}$$