Sujet A Page 122

1.a) $\textcolor{#caa7ff}{\vec{OA}(10;0;1)}$ dirige $\textcolor{#caa7ff}{(OA)}$ et $\textcolor{#caa7ff}{\vec{OB}(1;7;1)}$ dirige $\textcolor{#caa7ff}{(OB)}$ donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
(OA) \perp (OB)
\Rightarrow
\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0
}$$
Donc par contraposée :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{OA} \cdot \vec{OB} \neq 0
\Rightarrow
(OA) \not\perp (OB)
}$$

On calcule $\textcolor{#caa7ff}{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{OA} \cdot \vec{OB}
= (10 \times 1) + (0 \times 7) + (1 \times 1)
= 11
}$$

On a alors $\textcolor{#caa7ff}{\vec{OA} \cdot \vec{OB} \neq 0}$ donc $\textcolor{#caa7ff}{\boxed{(OA) \not\perp (OB)}}$

b)
$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{OA} \cdot \vec{OB}
= \lVert \vec{OA} \rVert \times \lVert \vec{OB} \rVert \times
\cos{\widehat{AOB}}
\newline \iff
\cos{\widehat{AOB}}
= \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}
{\lVert \vec{OA} \rVert \times \lVert \vec{OB} \rVert}
\newline \iff
\widehat{AOB}
= \arccos{\frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}
{\lVert \vec{OA} \rVert \times \lVert \vec{OB} \rVert}}
}$$

On a :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 11
\newline
\lVert \vec{OA} \rVert = \sqrt{10^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{101}
\newline
\lVert \vec{OB} \rVert = \sqrt{1^2 + 7^2 + 1^2} = \sqrt{51}
}$$
Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\widehat{AOB}
= \arccos{\frac{11}
{\sqrt{101} \times \sqrt{51}}}
\approx \boxed{81,2^\circ}
}$$

2.
On note $\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{L}}$ le plan d'équation $\textcolor{#caa7ff}{7x + 9y - 70z = 0}$

Pour $\textcolor{#caa7ff}{O}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
7x_o + 9y_o - 70z_o
= 7 \times 0 + 9 \times 0 - 70 \times 0
= 0
}$$
Donc $\textcolor{#caa7ff}{O \in \mathscr{L}}$

Pour $\textcolor{#caa7ff}{A}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
7x_a + 9y_a - 70z_a
= 7 \times 10 + 9 \times 0 - 70 \times 1
= 0
}$$
Donc $\textcolor{#caa7ff}{A \in \mathscr{L}}$

Pour $\textcolor{#caa7ff}{B}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
7x_b + 9y_b - 70z_b
= 7 \times 1 + 9 \times 7 - 70 \times 1
= 0
}$$
Donc $\textcolor{#caa7ff}{B \in \mathscr{L}}$

$\textcolor{#caa7ff}{O}$, $\textcolor{#caa7ff}{A}$ et $\textcolor{#caa7ff}{B}$ définissent donc le plan $\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{L}}$, on peut alors le noter $\textcolor{#caa7ff}{(OAB)}$

3. $\textcolor{#caa7ff}{\vec{CA}}$ dirige la droite $\textcolor{#caa7ff}{(CA)}$. Elle admet donc la représentation paramétrique de la forme :
$$\textcolor{#caa7ff}{
(CA)
\begin{cases}
X &= x_{\vec{CA}}t + x_c \newline
Y &= y_{\vec{CA}}t + y_c \newline
Z &= z_{\vec{CA}}t + z_c
\end{cases}
}$$
On determine les coordonées de $\textcolor{#caa7ff}{\vec{CA}}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
x_{\vec{CA}} = x_a - x_c = 10
\newline
y_{\vec{CA}} = y_a - y_c = 0
\newline
z_{\vec{CA}} = z_a - z_c = -4
}$$
On en déduit donc une représentation paramétrique de $\textcolor{#caa7ff}{(CA)}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
(CA)
\begin{cases}
X &= 10t \newline
Y &= 0 \newline
Z &= -4t + 5
\end{cases}
}$$

4. $\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{P}}$ admet l'équation cartésienne de la forme
$$\textcolor{#caa7ff}{
ax + by + cz - d = 0
}$$
Avec :

• $\textcolor{#caa7ff}{\vec{r}(a, b, c)}$ un vecteur normal non nul de $\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{P}}$
• $\textcolor{#caa7ff}{d = ax_m + by_m + cz_m}$ pour $\textcolor{#caa7ff}{m \in \mathscr{P}}$

$\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{P}}$ est parallèle à $\textcolor{#caa7ff}{(OAB)}$ donc tout vecteur normal de $\textcolor{#caa7ff}{(OAB)}$ est un vecteur normal de $\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{P}}$.
Or, d'après l'équation de $\textcolor{#caa7ff}{(OAB)}$ vérifiée plus tôt, le vecteur $\textcolor{#caa7ff}{\vec{n}(7;9;-70)}$ est normal à $\textcolor{#caa7ff}{(OAB)}$ et donc également à $\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{P}}$.
De plus, $\textcolor{#caa7ff}{D(0;0;\frac{5}{2}) \in \mathscr{P}}$.

$\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{P}}$ admet donc l'équation cartésienne :
$$\textcolor{#caa7ff}{
7x + 9y - 70z - (7x_D + 9y_D - 70z_D) = 0
\newline \iff
7x + 9y - 70z - (0 + 0 - \frac{350}{2}) = 0
\newline \iff
\boxed{7x + 9y - 70z + 175 = 0}
}$$

5. $\textcolor{#caa7ff}{F}$ satisfait à la fois l'équation de $\textcolor{#caa7ff}{(CA)}$ et de $\textcolor{#caa7ff}{\mathscr{P}}$ donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
F
\begin{cases}
X = 10t \newline
Y = 0 \newline
Z = -4t + 5 \newline
7X + 9Y - 70Z + 175 = 0
\end{cases}
\Rightarrow
7(10t) + 9(0) - 70(-4t + 5) + 175 = 0
\newline \iff
70t + 280t - 350 + 175 = 0
\newline \iff
350t = 175
\newline \iff
t = \frac{1}{2}
}$$
On retrouve donc les coordonées de $\textcolor{#caa7ff}{F}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
x_F = 10 \times \frac{1}{2} = \boxed{5}
\newline
y_F = 0 \times \frac{1}{2} = \boxed{0}
\newline
z_F = -4 \times \frac{1}{2} + 5 = \boxed{3}
}$$

6.
$$\textcolor{#caa7ff}{
CE
= \sqrt{(x_e - x_c)^2 + (y_e - y_c)^2 + (z_e - z_c)^2}
= \sqrt{\frac{1}{2}^2 + \frac{7}{2}^2 + (-2)^2}
= \sqrt{\frac{50}{4} + 4}
= \sqrt{16,5}
\newline
CB
= \sqrt{(x_b - x_c)^2 + (y_b - y_c)^2 + (z_b - z_c)^2}
= \sqrt{1^2 + 7^2 + (-4)^2}
= \sqrt{66}
\newline
CF
= \sqrt{(x_f - x_c)^2 + (y_f - y_c)^2 + (z_f - z_c)^2}
= \sqrt{5^2 + 0^2 + (-2)^2}
= \sqrt{29}
\newline
CA
= \sqrt{(x_a - x_c)^2 + (y_a - y_c)^2 + (z_a - z_c)^2}
= \sqrt {10^2 + 0^2 + (-4)^2}
= \sqrt{116}
}$$

On a alors :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\text{D'une part : }
\frac{CE}{CB}
= \frac{\sqrt{16,5}}{\sqrt{66}}
= \sqrt{\frac{16,5}{66}}
= \sqrt{\frac{1}{4}}
= \frac{1}{2}
\newline
\text{D'autre part : }
\frac{CF}{CA}
= \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{116}}
= \sqrt{\frac{29}{116}}
= \sqrt{\frac{1}{4}}
= \frac{1}{2}
}$$

On trouve alors que :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\frac{CE}{CB} = \frac{CF}{CA}
}$$

Donc, par réciproque du théorème de Thalès :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{(EF) \parallel (AB)}
}$$