BAC 2009 Amerique du sud Exercice 2

1.1) Le systeme étant en chute libre, la seule force qui s'applique est le poids. Il est dirigé verticalement vers le bas et exprimé en Newtons.

Dans le repère donné $\textcolor{#caa7ff}{(Oxyz)}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{P} = m \vec{g}
\quad \text{avec }
\vec{g}
\begin{cases}
x = 0 \newline
y = -g \newline
z = 0
\end{cases}
}$$

1.2) Le référentiel (terrestre) étant supposé Galiléen, d'apres la 2nd loi de Newton :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\sum \vec{f} = m \vec{a}
}$$

Or d'apres 1.1) :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\sum \vec{f} = \vec{P} = m \vec{g}
}$$

On a alors :

$$\textcolor{#caa7ff}{
m \vec{g} = m \vec{a}
\newline \iff
\vec{g} = \vec{a}
}$$

Et donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{a}
\begin{cases}
x = 0 \newline
y = -g \newline
z = 0
\end{cases}
}$$

1.3) La vitesse étant une primitive de l'acceleration, on a :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{v}(t)
\begin{cases}
x = cste \newline
y = -g \cdot t + cste' \newline
z = cste''
\end{cases}
}$$

Or à $\textcolor{#caa7ff}{t_0 = 0s}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
v(t_0)_y = 0
\newline
v(t_0)_z = 0
\newline
\text{Et donc }
v(t_0)_x = v_0
}$$

On a donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{v}(t)
\begin{cases}
x = v_0 \newline
y = -g \cdot t \newline
z = 0
\end{cases}
}$$

La position étant une primitive de la vitesse, on a :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{OD}
\begin{cases}
x = v_0 \cdot t + cste \newline
y = \frac{-g \cdot t^2}{2} + cste' \newline
z = cste''
\end{cases}
}$$

Or à $\textcolor{#caa7ff}{t_0 = 0s}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
x(t_0) = 0
\newline
y(t_0) = H
\newline
z(t_0) = 0
}$$

On a donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{OD}
\begin{cases}
x = v_0 \cdot t \newline
y = \frac{-g \cdot t^2}{2} + H \newline
z = 0
\end{cases}
}$$

On trouve alors les équations horaires paramétriques suivantes :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
x(t) = v_0 t \newline
y(t) = \frac{-g t^2}{2} + H \newline
z(t) = 0
}
}$$

1.4 $\textcolor{#caa7ff}{z(t)}$ est constant (et nul) donc la balle se déplace uniquement dans le plan $\textcolor{#caa7ff}{(xOy)}$.

1.5

$$\textcolor{#caa7ff}{
x(t) = v_0 \cdot t
\iff
t = \dfrac{x(t)}{v_0}
\newline \text{Ainsi} \newline
y(t) = \frac{-g \cdot \bigl(\dfrac{x(t)}{v_0}\bigr)^2}{2} + H
\newline \text{Donc} \newline
\boxed{
y = \frac{-g \cdot x^2}{2 v_0^2} + H
}
}$$

2.1 On cherche la hauteur $\textcolor{#caa7ff}{y_f}$ de la balle à $\textcolor{#caa7ff}{x_F = 12,2 m}$

On rappelle que $\textcolor{#caa7ff}{v_0 = 126 km \cdot h^{-1} = \frac{126}{3,6} m \cdot s^{-1} = 35 m \cdot s^{-1}}$

$$\textcolor{#caa7ff}{
y_f \newline =
-\frac{g \cdot x_F^2}{2 v_0^2} + H \newline =
-\frac{9,81 \cdot 12,2^2}{2 \cdot 35^2} + 2,20 \newline =
\boxed{1,60m}
}$$

Le filet faisant $\textcolor{#caa7ff}{0,92m}$ la balle passe bien au-dessus.

2.2 On cherche la distance $\textcolor{#caa7ff}{x_{B'}}$ parcourue par la balle à $\textcolor{#caa7ff}{y_{B'} = 0}$

$$\textcolor{#caa7ff}{
x_{B'} \newline =
\sqrt{-\dfrac{2 v_0^2 (y_{B'} - H)}{g}} \newline =
\sqrt{-\dfrac{2 \cdot 35^2 \cdot (-2,20)}{9,81}} \newline =
\boxed{23,4m}
}$$

On trouve donc le point de contact de la balle avec le sol $\textcolor{#caa7ff}{B'(23,4 ; 0 ; 0)}$ qui vérifie bien $\textcolor{#caa7ff}{OB' \gt OB}$ (en effet $\textcolor{#caa7ff}{23,4 \gt 18,7}$).

2.3 La balle subit une action de l'air (frottements) ici non pris en compte, qui ralentissent sa vitesse et donc la font tomber plus tôt.