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Polynômes dans C
$\textcolor{#caa7ff}{P}$ est le polynôme défini sur C par
$$\textcolor{#caa7ff}{
P(z) = z^4 + 4
}$$
a) Vérifier que $\textcolor{#caa7ff}{(1+i)^4 = -4}$.
b) En déduire une factorisation de $\textcolor{#caa7ff}{P}$.
c) On assume que $\textcolor{#caa7ff}{P(z) = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2)}$. En déduire les racines de $\textcolor{#caa7ff}{P}$.
a)
$$\textcolor{#caa7ff}{
(1+i)^4
= (1+i)^2 \times (1+i)^2
= (1 + 2i - 1)(1 + 2i - 1)
= 2i \times 2i
= \boxed{-4}
}$$
b)
$\textcolor{#caa7ff}{P(1+i) = (1+i)^4 + 4 = -4 + 4 = 0}$. $\textcolor{#caa7ff}{(1+i)}$ est donc une racine de $\textcolor{#caa7ff}{P}$.
$\textcolor{#caa7ff}{P}$ est donc factorisable par $\textcolor{#caa7ff}{(z - (1+i))}$ soit $\textcolor{#caa7ff}{(z - 1 - i)}$
On en déduit donc une factorisation de $\textcolor{#caa7ff}{P}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
P(z)
= z^4 + 4
= (z - 1 - i)\bigl(z^3 + (1+i)z^2 + 2iz + 2i-2\bigr)
}$$
c)
On cherche les racines du premier facteur, soit $\textcolor{#caa7ff}{z}$ tel que :
$$\textcolor{#caa7ff}{
z^2 - 2z + 2 = 0
\newline
\Delta
= 4 - 4 \times 2
= -4
\newline
\Rightarrow
z_1
= \frac{2 + i\sqrt{4}}{2}
= \boxed{1 + i}
\text{ et }
z_2
= \overline{z_1}
= \boxed{1 - i}
}$$
On cherche les racines du second facteur, soit $\textcolor{#caa7ff}{z}$ tel que :
$$\textcolor{#caa7ff}{
z^2 + 2z + 2 = 0
\newline
\Delta
= 4 - 4 \times 2
= -4
\newline
\Rightarrow
z_3
= \frac{-2 + i\sqrt{4}}{2}
= \boxed{-1 + i}
\text{ et }
z_4
= \overline{z_3}
= \boxed{-1 - i}
}$$
On trouve donc l'ensemble des racines de P :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{S = \left\{
(1+i) ; (1-i) ; (-1+i) ; (-1-i)
\right\}}
}$$
Solution alternative :
$$\textcolor{#caa7ff}{
z\text{ est une racine de }P \iff P(z) = 0 \iff z^4 + 4 = 0 \iff z^4 = -4
}$$
Or, $\textcolor{#caa7ff}{(1+i)^4 = -4}$
$\textcolor{#caa7ff}{(1+i)}$ est donc une racine de $\textcolor{#caa7ff}{P}$.
De plus, $\textcolor{#caa7ff}{\forall a \in \mathbb{C} \quad a^4 = (-a)^4}$ donc $\textcolor{#caa7ff}{(1+i)^4 = (-1-i)^4 = -4}$
$\textcolor{#caa7ff}{(-1-i)}$ est donc une racine de $\textcolor{#caa7ff}{P}$.
De plus, tous les coefficients de $\textcolor{#caa7ff}{P}$ sont réels donc :
Pour tout $\textcolor{#caa7ff}{z}$ racine de $\textcolor{#caa7ff}{P}$, $\textcolor{#caa7ff}{\overline{z}}$ est également racine de $\textcolor{#caa7ff}{P}$.
On en déduit donc toutes les racines de $\textcolor{#caa7ff}{P}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
z_1 = \boxed{1 + i}
\newline
z_2 = (\overline{1 + i}) = \boxed{1 - i}
\newline
z_3 = \boxed{-1 - i}
\newline
z_4 = (\overline{-1 - i}) = \boxed{-1 + i}
}$$