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Polynômes dans C
Dans chaque cas, vérifier que $\textcolor{#caa7ff}{a}$ est une solution de l'équation, puis résoudre cette équation dans $\textcolor{#caa7ff}{\mathbb{C}}$.
a) $\textcolor{#caa7ff}{z^3 + 9z^2 + 36z + 54 = 0}$ et $\textcolor{#caa7ff}{a = -3}$
b) $\textcolor{#caa7ff}{z^3 - 7z^2 + 14,5z - 10 = 0}$ et $\textcolor{#caa7ff}{a = 4}$
a)
On remplace $\textcolor{#caa7ff}{z}$ par $\textcolor{#caa7ff}{-3}$ dans l'équation :
$$\textcolor{#caa7ff}{
(-3)^3 + 9(-3)^2 + 36(-3) + 54
= -27 + 81 - 108 + 54
= \boxed{0}
}$$
$\textcolor{#caa7ff}{-3}$ est donc une solution.
On pose le polynôme $\textcolor{#caa7ff}{Q(z) = z^3 + 9z^2 + 36z + 54}$
$\textcolor{#caa7ff}{-3}$ est une racine de $\textcolor{#caa7ff}{Q}$ (car $\textcolor{#caa7ff}{Q(-3) = 0}$).
On peut donc factoriser $\textcolor{#caa7ff}{Q}$ par $\textcolor{#caa7ff}{(z - (-3))}$ soit $\textcolor{#caa7ff}{(z + 3)}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
Q(z) = (z + 3)(z^2 + 6z + 18)
}$$
On cherche alors la(les) solution(s) de l'équation :
$$\textcolor{#caa7ff}{
z^2 + 6z + 18 = 0
\newline
\Delta = 6^2 - 4 \times 18
= -36
\newline
\Rightarrow
z_{1} = \frac
{-6 + i\sqrt{36}}{2}
= \boxed{-3 + 3i}
\text{ et }
z_{2} = \overline{z_{1}}
= \boxed{-3 - 3i}
}$$
On en déduit donc l'ensemble des solutions de l'équation (aussi appelés racines de $\textcolor{#caa7ff}{Q}$) :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
\mathbb{S} =
\left\{
-3;-3+3i;-3-3i
\right\}
}
}$$
b)
On remplace $\textcolor{#caa7ff}{z}$ par $\textcolor{#caa7ff}{4}$ dans l'équation :
$$\textcolor{#caa7ff}{
(4)^3 - 7(4)^2 + 14,5(4) - 10
= 64 - 112 + 58 - 10
= \boxed{0}
}$$
$\textcolor{#caa7ff}{4}$ est donc une solution.
On pose le polynôme $\textcolor{#caa7ff}{Q(z) = z^3 - 7z^2 + 14,5z - 10}$
$\textcolor{#caa7ff}{4}$ est une racine de $\textcolor{#caa7ff}{Q}$ (car $\textcolor{#caa7ff}{Q(4) = 0}$).
On peut donc factoriser $\textcolor{#caa7ff}{Q}$ par $\textcolor{#caa7ff}{(z - 4)}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
Q(z) = (z - 4)(z^2 - 3z + 2,5)
}$$
On cherche alors la(les) solution(s) de l'équation :
$$\textcolor{#caa7ff}{
z^2 - 3z + 2,5 = 0
\newline
\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2,5
= -1
\newline
\Rightarrow
z_{1} = \frac
{3 + i\sqrt{1}}{2}
= \boxed{\frac{3 + i}{2}}
\text{ et }
z_{2} = \overline{z_{1}}
= \boxed{\frac{3 - i}{2}}
}$$
On en déduit donc l'ensemble des solutions de l'équation (aussi appelés racines de $\textcolor{#caa7ff}{Q}$) :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
\mathbb{S} =
\left\{
4 ; \frac{3 + i}{2} ; \dfrac{3 - i}{2}
\right\}
}
}$$