Sujet D Page 45
Dénombrement
On considère un questionnaire compmortant cinq questions.
Pour chacune, trois propositions de réponses sont faites ($\textcolor{#caa7ff}{A}$, $\textcolor{#caa7ff}{B}$ et $\textcolor{#caa7ff}{C}$). Une seule d'entre elle est exacte.
Un candidat répond a toutes les questions posées en ecrivant un mot de cinq lettres, par exemple "BBAAC".
1.a) Combien y a-t-il de mots-réponses possibles ?
b) Combien de mots-réponses contenant deux "A", deux "B" et un "C" ?
2) On suppose que le candidat répond au hasard a chaque question.
Calculer la probabilité des événement suivants :
- $\textcolor{#caa7ff}{E}$ : «Le candidat n'a aucune bonne réponse»
- $\textcolor{#caa7ff}{F}$ : «Le candidat a exactement une bonne réponse»
1.a) On peut représenter chaque mot-réponse par un 5-uplet de l'ensemble des réponses possibles, qu'on note $\textcolor{#caa7ff}{R = \left\{A;B;C\right\}}$ avec $\textcolor{#caa7ff}{Card(R) = 3}$.
Le nombre total de mots-réponses possibles est donc alors le nombre de 5-uplets de $\textcolor{#caa7ff}{R}$, soit :
$$\textcolor{#caa7ff}{
Card(R)^{5}
= 3^{5}
= \boxed{243}
}$$
b) On peut représenter l'ensemble des mots-réponses comportant deux "A", deux "B" et un "C" par le nombre d'annagrames de "AABBC".
Il y en a donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\frac{5!}{2!2!}
= \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1}
= 5 \times 3 \times 2
= \boxed{30}
}$$
2. On pose $\textcolor{#caa7ff}{\Omega}$ l'ensemble des mots-réponses. On a donc $\textcolor{#caa7ff}{\Omega = R^{5}}$ d'où $\textcolor{#caa7ff}{Card(\Omega) = 243}$.
On note $\textcolor{#caa7ff}{E_{e}}$ et $\textcolor{#caa7ff}{E_{f}}$ les ensembles des issues satisfaisant respectivement $\textcolor{#caa7ff}{E}$ et $\textcolor{#caa7ff}{F}$.
Pour chaque question, $\textcolor{#caa7ff}{2}$ réponses sont fausses. Il y a alors $\textcolor{#caa7ff}{2}$ choix par réponse.
On trouve donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
Card(E_{e})
= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2
= 2^{5}
= 32
}$$
Le candidat répond au hasard, il y a alors équiprobabilité des issues. Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
P_r[E]
= \frac{Card(E_{e})}
{Card(\Omega)}
= \boxed{\frac{32}{243}}
}$$
Il y a $\textcolor{#caa7ff}{5}$ possibilités de placement de la bonne réponse (1ere position, 2eme position, ..., 5eme position).
Il y a $\textcolor{#caa7ff}{1}$ choix pour la bonne réponse et $\textcolor{#caa7ff}{2}$ choix pour toutes les autres.
On trouve donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
Card(E_{f})
= 5 \times 1 \times 2^{4}
= 80
}$$
Le candidat répond au hasard, il y a alors équiprobabilité des issues. Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
P_{r}[F]
= \frac{Card(E_{f})}
{Card(\Omega)}
= \boxed{\frac{80}{243}}
}$$