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Complexes - Point de vue géometrique
Dans le plan complexe, A, B et C sont les points d'affixes $\textcolor{#caa7ff}{Z_{A} = 2i}$, $\textcolor{#caa7ff}{Z_{B} = \sqrt{3} - i}$ et $\textcolor{#caa7ff}{Z_{C} = -\sqrt{3} - i}$.
a) Calculer les affixes des vecteurs $\textcolor{#caa7ff}{\vec{AB}}$, $\textcolor{#caa7ff}{\vec{AC}}$ et $\textcolor{#caa7ff}{\vec{BC}}$
b) Quelle est la nature du triangle $\textcolor{#caa7ff}{ABC}$ ?
a)
$$\textcolor{#caa7ff}{
Z_{\vec{AB}}
= Z_{B} - Z_{A}
= (\sqrt{3} - i) - (2i)
= \boxed{\sqrt{3} - 3i}
\newline
Z_{\vec{AC}}
= Z_{C} - Z_{A}
= (- \sqrt{3} - i) - (2i)
= \boxed{- \sqrt{3} - 3i}
\newline
Z_{\vec{BC}}
= Z_{C} - Z_{B}
= (- \sqrt{3} - i) - (\sqrt{3} - i)
= \boxed{- 2\sqrt{3}}
}$$
b)
$$\textcolor{#caa7ff}{
AB
= \lvert Z_{\vec{AB}} \rvert
= \lvert \sqrt{3} - 3i \rvert
= \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (3)^2}
= \sqrt{12}
= \boxed{2\sqrt{3}}
\newline
AC
= \lvert Z_{\vec{AC}} \rvert
= \lvert - \sqrt{3} - 3i \rvert
= \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (3)^2}
= \sqrt{12}
= \boxed{2\sqrt{3}}
\newline
BC
= \lvert Z_{\vec{BC}} \rvert
= \lvert -2 \sqrt{3} \rvert
= \boxed{2\sqrt{3}}
}$$
On a $\textcolor{#caa7ff}{AB = AC = BC}$
$\textcolor{#caa7ff}{ABC}$ est donc équilatéral.