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Orthogonalité dans l'espace
Soit $\textcolor{#caa7ff}{ABCDEFGH}$ un cube, $\textcolor{#caa7ff}{I}$ le millieu de $\textcolor{#caa7ff}{[AD]}$, $\textcolor{#caa7ff}{J}$ le milieu de $\textcolor{#caa7ff}{[HG]}$ et $\textcolor{#caa7ff}{M}$ le point tel que :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{BM}
= \vec{BG} + \vec{AB} + \vec{AE}
}$$
1. Démontrer que :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{IJ}
= \frac{1}{2}\vec{AD} + \vec{AE} + \frac{1}{2}\vec{AB}
}$$
2. Exprimer $\textcolor{#caa7ff}{\vec{BM}}$ en fonction de $\textcolor{#caa7ff}{\vec{AB}}$, $\textcolor{#caa7ff}{\vec{AD}}$ et $\textcolor{#caa7ff}{\vec{AE}}$
3. En déduire que $\textcolor{#caa7ff}{(IJ) \parallel (BM)}$
1.
$\textcolor{#caa7ff}{I}$ milieu de $\textcolor{#caa7ff}{[AD]}$ $\textcolor{#caa7ff}{\iff}$ $\textcolor{#caa7ff}{\vec{ID} = \frac{1}{2}\vec{AD}}$
$\textcolor{#caa7ff}{J}$ milieu de $\textcolor{#caa7ff}{[HG]}$ $\textcolor{#caa7ff}{\iff}$ $\textcolor{#caa7ff}{\vec{HJ} = \frac{1}{2}\vec{HG}}$
Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{IJ}
= \vec{ID} + \vec{DH} + \vec{HJ}
= \frac{1}{2}\vec{AD} + \vec{AE} + \frac{1}{2}\vec{HG}
= \boxed{\frac{1}{2}\vec{AD} + \vec{AE} + \frac{1}{2}\vec{AB}}
}$$
2.
$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{BM}
= \vec{BG} + \vec{AB} + \vec{AE}
= (\vec{BC} + \vec{CG}) + \vec{AB} + \vec{AE}
= \boxed{\vec{AD} + 2\vec{AE} + \vec{AE}}
}$$
3.
On a $\textcolor{#caa7ff}{\vec{BM} = 2\vec{IJ}}$ donc $\textcolor{#caa7ff}{\vec{BM} \parallel \vec{IJ}}$.
Or, $\textcolor{#caa7ff}{(BM)}$ est dirigée par $\textcolor{#caa7ff}{\vec{BM}}$ et $\textcolor{#caa7ff}{(IJ)}$ est dirigée par $\textcolor{#caa7ff}{\vec{IJ}}$
Donc $\textcolor{#caa7ff}{\boxed{(BM) \parallel (IJ)}}$