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Orthogonalité dans l'espace
1. Rappeler la formule de polarisation donnant le produit scalaire $\textcolor{#caa7ff}{\vec{u} \cdot \vec{v}}$ en fonction de $\textcolor{#caa7ff}{\lVert \vec{u} + \vec{v} \rVert}$, $\textcolor{#caa7ff}{\lVert \vec{u} \rVert}$ et $\textcolor{#caa7ff}{\lVert \vec{v} \rVert}$.
2. En déduire $\textcolor{#caa7ff}{\vec{u} \cdot \vec{v}}$ pour $\textcolor{#caa7ff}{\lVert \vec{u} + \vec{v} \rVert = 7}$, $\textcolor{#caa7ff}{\lVert \vec{u} \rVert = 8}$ et $\textcolor{#caa7ff}{\lVert \vec{v} \rVert = 3}$
1.
$$\textcolor{#caa7ff}{
\lVert \vec{u} + \vec{v} \rVert^2
= \lVert \vec{u} \rVert^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + \lVert \vec{v} \rVert^2
\newline
\iff 2(\vec{u} \cdot \vec{v})
= \lVert \vec{u} + \vec{v} \rVert^2 - \lVert \vec{u} \rVert^2 - \lVert \vec{v} \rVert^2
\newline
\iff \boxed{\vec{u} \cdot \vec{v}
= \frac{1}{2}
\left(
\lVert \vec{u} + \vec{v} \rVert^2 - \lVert \vec{u} \rVert^2 - \lVert \vec{v} \rVert^2
\right)}
}$$
2.
$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{u} \cdot \vec{v}
= \frac{1}{2}
\left(
\lVert \vec{u} + \vec{v} \rVert^2 - \lVert \vec{u} \rVert^2 - \lVert \vec{v} \rVert^2
\right)
= \frac{1}{2}
\left(
7^2 - 8^2 - 3^2
\right)
= \boxed{-12}
}$$